El análisis funcional moderno se desarrolló en torno al problema de resolver ecuaciones con soluciones dadas por funciones. Después de las ecuaciones diferenciales y diferenciales parciales , que fueron estudiadas en el siglo XVIII, vinieron las ecuaciones integrales y otro tipo de ecuaciones funcionales investigadas en el siglo XIX, a cuyo final surgió la necesidad de desarrollar un nuevo análisis, con funciones de un número infinito de variables en lugar de las funciones habituales.
En 1887, Volterra, inspirado en el cálculo de variaciones , sugirió un nuevo cálculo infinitesimal donde las funciones habituales se reemplazan por funcionales, es decir, por aplicaciones de un espacio funcional R o C, pero a él y a sus seguidores todavía les faltaban algunas herramientas algebraicas y topológicas que se desarrollarían más adelante.
El análisis moderno nació con el desarrollo de un “álgebra del infinito” estrechamente relacionada con el álgebra lineal clásica que en 1890 (hasta el concepto de dualidad, que se desarrolló más tarde) se había asentado en terreno firme.
Fuertemente inspirado por los métodos algebraicos, el trabajo de Fredholm a principios del siglo XIX, en el que surgió el concepto de núcleo de un operador, se convirtió en la piedra fundamental de la teoría moderna de las ecuaciones integrales.
Hilbert desarrolló aún más los métodos de Fredholm para núcleos simétricos , explotando analogías con la teoría de formas cuadráticas reales y dejando así clara la importancia de la noción de funciones integrables al cuadrado.
Con los Grundz ü ge einer allgemeinen Theorie der Integralgleichung de Hilbert se dio un paso más desde el “álgebra del infinito” hasta la “geometría del infinito”. El aporte de Fréchet, que introdujo la noción abstracta de un espacio dotado de una distancia, permitió trasladar la geometría euclidiana al marco de los que desde entonces se denominaron espacios de Hilbert , un concepto básico en matemáticas y física cuántica .
La utilidad del análisis funcional en el estudio de los sistemas cuánticos quedó clara en la década de 1950, cuando Kato demostró la autoadjunción de los hamiltonianos atómicos , y Garding y Wightman formularon axiomas para la teoría cuántica de campos .
Desde entonces, el análisis funcional se encuentra en el centro de muchos enfoques de la teoría cuántica de campos. Las aplicaciones del análisis funcional se extienden a muchas ramas de las matemáticas, entre las que se encuentran el análisis numérico , el análisis global, la teoría de operadores pseudodiferenciales , la geometría diferencial , las álgebras de operadores , la geometría no conmutativa , etc.
FUENTE:
0 Comentarios